Für quadratische und kubische Funktionen kann unser Taschenrechner das Ergebnis direkt berechnen. Schaue dir dafür die Anleitung zum Menüpunkt MODE → EQN genauer an.

Für komplexere Gleichungen kann der Taschenrechner auch versuchen, eine Nullstelle zu berechnen. Evt. findet er aber nicht alle Nullstellen. Dazu gibst du die Gleichung in den Rechner ein und drückst SHIFT SOLVE. Nun fragt der Rechner nach einem Startwert - wir versuchen z.B. den Wert 10 und erhalten die Ausgabe

x² - 6x + 5 = 0
X = 5
L-R = 0

Die letzte Zeile sieht seltsam aus. Sie gibt an, wie weit wir von der Nullstelle entfernt sind. L steht hier für die linke Seite und R für die rechte Seite der Gleichung. Ein Wert von 0 besagt, dass wir die Nullstelle exakt ermittelt haben.

Isaac Newton hat vor über 300 Jahren ein Verfahren vorgeschlagen, um nicht-lineare Gleichungen zu lösen. So findet das Verfahren etwa eine Lösung für die folgende Gleichung

x² - 6 x + 5 = 0

Das Verfahren beginnt mit einer Schätzung und verbessert diese mit jedem Schritt ein wenig. Die erste Schätzung heißt x0, die zweite dann x1, und so weiter. Die Verbesserung x1 ergibt sich aus der Schätzung x0 wie folgt.

x1 = x0 - f(x0) / f´(x0)

In dieser Gleichung ist f(x) = x² - 6x + 5 und f´(x) die Ableitung von f(x), also f´(x) = 2x - 6.

Schauen wir uns einmal an, wie sich die Werte entwickeln, wenn wir mit der Schätzung x=10 beginnen.

x      f(x)   f´(x)   x-f(x)/f´(x)
10.0   45.0   14.0    6.79
6.79   10.33  7.57    5.42
5.42   1.86   4.84    5.04
5.04   0.15   4.07    5.0003
5.0003 0.001  4.0006  5.00000003

Man kann gut erkennen, wie sich die X-Werte langsam der 5 annähern, während die Werte von f(x) gegen 0 streben. Wir schauen, ob es nicht noch eine weitere Lösungen gibt. Immerhin haben quadratische Gleichungen ja bis zu zwei Lösungen. Wir probieren es diesmal mit dem Startwert -10.

x      f(x)   f´(x)   x-f(x)/f´(x)
-10.0  165.0  -26.0   -3.65
-3.65  40.27  -13.31  -0.63
-0.63  9.16   -7.26   0.63
 0.63  1.59   -4.73   0.97
 0.97  0.11   -4.06   0.99
 0.99  0.0008 -4.0003 0.9999999904

Hier erkennen wir, wie die Werte von x gegen 1 streben, während f(x) gegen 0 strebt. Einsetzen von x=1 und x=5 ergibt auch tatsächlich in beiden Fällen den Wert 0. Wir haben unsere Lösungen gefunden.

Leider funktioniert das Verfahren nicht immer. Prüfe doch einmal, was für die Gleichung f(x) = x³ - 2x + 2 und den Startwert x=0 passiert. Was kannst du feststellen?

Man kann das Verfahren natürlich auch mit beliebigen anderen Gleichungen durchführen.

Weil das Newton-Verfahren so einfach ist, habe ich ein kleines Python-Programm geschrieben, das für quadratische Gleichungen die Lösung ermittelt. Versuche doch einmal, das Programm für kubische Gleichungen oder Gleichungen vierten Grades zu erweitern.

MAX_ITERATIONEN = 100
GENAUIGKEIT = 0.1
 
def newton(a, b, c, startwert):
    """  Bestimmt eine Lösung der Gleichung    ax² + bx + c = 0    
         für einen gegebenen Startwert.    """
 
    xn = startwert * 1.0
    fx = 1.0
    numIterationen = 0
 
    while abs(fx) > GENAUIGKEIT and numIterationen < MAX_ITERATIONEN:
        fx = f(a, b, c, xn)        
        fx_ = f_(a,b,c, xn)
        xn = xn - fx / fx_
 
        numIterationen += 1
 
    if numIterationen >= MAX_ITERATIONEN:
        return float('NaN')
    else:
        return xn
 
 
def f(a,b,c, x):
    """    Berechne f(x) = ax² + bx + c    """
    return a*x*x + b*x + c
 
def f_(a,b,c, x):
    """Berechne f'(x) = 2ax + b"""
    return 2*a*x + b

Das Programm kann nun mit newton(a,b,c, startwert) aufgerufen werden, wobei a, b ,c und d für die Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c stehen.

Auch in der Programmiersprache Haskell lässt sich der Algorithmus leicht aufschreiben.

newton :: (Fractional a, Ord a) => (a->a) -> (a->a) -> a -> a
newton f f' x
	| (abs $ f x) < 0.001 = x
	| otherwise     = newton f f' xNeu
	where 
		xNeu = x - (f x)/(f' x)