Unterschiede

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--- schule:nullstellen [2014-06-19 10:19] – [Taschenrechner] marco.bakera
+++ schule:nullstellen [2017-04-19 08:39] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 ====== Nullstellen ======
+===== Taschenrechner =====
+{{:schule:casiofx991-oben.jpg|(cc) Stefan-Xp}}
+Für quadratische und kubische Funktionen kann unser [[Taschenrechner]] das Ergebnis direkt berechnen. Schaue dir dafür die Anleitung zum Menüpunkt MODE -> EQN genauer an.
+Für komplexere Gleichungen kann der Taschenrechner auch versuchen, eine Nullstelle zu berechnen. Evt. findet er aber nicht alle Nullstellen. Dazu gibst du die Gleichung in den Rechner ein und drückst SHIFT SOLVE. Nun fragt der Rechner nach einem Startwert - wir versuchen z.B. den Wert 10 und erhalten die Ausgabe
+  x² - 6x + 5 = 0
+  X = 5
+  L-R = 0
+Die letzte Zeile sieht seltsam aus. Sie gibt an, wie weit wir von der Nullstelle entfernt sind. L steht hier für die linke Seite und R für die rechte Seite der Gleichung. Ein Wert von 0 besagt, dass wir die Nullstelle exakt ermittelt haben.
+===== Newton Verfahren =====
 Isaac Newton hat vor über 300 Jahren ein [[wpde>Newton-Verfahren|Verfahren]] vorgeschlagen, um nicht-lineare Gleichungen zu lösen. So findet das Verfahren etwa eine Lösung für die folgende Gleichung
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 x1 = x0 - f(x0) / f´(x0)
-In dieser Gleichung ist f(x) = x² - 6x + 5 und f´(x) die Ableitung von f(x) - also f´(x) = 2x - 6.
+In dieser Gleichung ist f(x) = x² - 6x + 5 und f´(x) die Ableitung von f(x), also f´(x) = 2x - 6.
-Schaue wir uns einmal an, wie sich die Werte entwickeln, wenn wir mit der Schätzung x=10 beginnen.
+Schauen wir uns einmal an, wie sich die Werte entwickeln, wenn wir mit der Schätzung x=10 beginnen.
   x      f(x)   f´(x)   x-f(x)/f´(x)
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 Man kann das Verfahren natürlich auch mit beliebigen anderen Gleichungen durchführen.
-===== Taschenrechner =====
-{{:schule:casiofx991-oben.jpg|(cc) Stefan-Xp}}
-Die Nullstellen lassen sich auch mit dem [[Taschenrechner]] finden. Dazu gibst du die Gleichung in den Rechner ein und drückst SHIFT SOLVE. Nun fragt der Rechner nach einem Startwert - wir versuchen z.B. den Wert 10 und erhalten die Ausgabe
-  x² - 6x + 5 = 0
-  X = 5
-  L-R = 0
-Die letzte Zeile sieht seltsam aus. Sie gibt an, wie weit wir von der Nullstelle entfernt sind. L steht hier für die linke Seite und R für die rechte Seite der Gleichung. Ein Wert von 0 besagt, dass wir die Nullstelle exakt ermittelt haben.
 ===== Python-Quelltext =====
-Weil das Newton-Verfahren so einfach ist, habe ich ein kleines Python-Programm geschrieben, das für quadratische Gleichungen die Lösung ermittelt. Versuche doch einmal, das Programm für kubische Gleichungen oder Gleichungen vierten Grades zu erweitern.
+Weil das Newton-Verfahren so einfach ist, habe ich ein kleines [[Python]]-Programm geschrieben, das für quadratische Gleichungen die Lösung ermittelt. Versuche doch einmal, das Programm für kubische Gleichungen oder Gleichungen vierten Grades zu erweitern.
 <code python>
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 </code>
-Das Programm kann nun mit newton(a,b,c, startwert) aufgerufen werden, wobei a,b,c und d für die Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c stehen.
+Das Programm kann nun mit ''newton(a,b,c, startwert)'' aufgerufen werden, wobei ''a'', ''b'' ,''c'' und ''d'' für die Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c stehen.
+===== Haskell-Quelltext =====
+Auch in der Programmiersprache Haskell lässt sich der Algorithmus leicht aufschreiben.
+<code haskell>
+newton :: (Fractional a, Ord a) => (a->a) -> (a->a) -> a -> a
+newton f f' x
+	| (abs $ f x) < 0.001 = x
+	| otherwise     = newton f f' xNeu
+	where
+		xNeu = x - (f x)/(f' x)
+</code>