Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

--- schule:nullstellen [2014-06-25 21:33] – [Quelltext in Haskell] marco.bakera
+++ schule:nullstellen [2016-02-25 14:56] – [Python-Quelltext] marco.bakera
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-====== Nullstellen ======
-Isaac Newton hat vor über 300 Jahren ein [[wpde>Newton-Verfahren|Verfahren]] vorgeschlagen, um nicht-lineare Gleichungen zu lösen. So findet das Verfahren etwa eine Lösung für die folgende Gleichung
-x² - 6 x + 5 = 0
-Das Verfahren beginnt mit einer Schätzung und verbessert diese mit jedem Schritt ein wenig. Die erste Schätzung heißt x0, die zweite dann x1, und so weiter. Die Verbesserung x1 ergibt sich aus der Schätzung x0 wie folgt.
-x1 = x0 - f(x0) / f´(x0)
-In dieser Gleichung ist f(x) = x² - 6x + 5 und f´(x) die Ableitung von f(x) - also f´(x) = 2x - 6.
-Schaue wir uns einmal an, wie sich die Werte entwickeln, wenn wir mit der Schätzung x=10 beginnen.
-  x      f(x)   f´(x)   x-f(x)/f´(x)
-.0   45.0   14.0    6.79
-.79   10.33  7.57    5.42
-.42   1.86   4.84    5.04
-.04   0.15   4.07    5.0003
-.0003 0.001  4.0006  5.00000003
-Man kann gut erkennen, wie sich die X-Werte langsam der 5 annähern, während die Werte von f(x) gegen 0 streben. Wir schauen, ob es nicht noch eine weitere Lösungen gibt. Immerhin haben quadratische Gleichungen ja bis zu zwei Lösungen. Wir probieren es diesmal mit dem Startwert -10.
-  x      f(x)   f´(x)   x-f(x)/f´(x)
-  -10.0  165.0  -26.0   -3.65
-  -3.65  40.27  -13.31  -0.63
-  -0.63  9.16   -7.26   0.63
-.63  1.59   -4.73   0.97
-.97  0.11   -4.06   0.99
-.99  0.0008 -4.0003 0.9999999904
-Hier erkennen wir, wie die Werte von x gegen 1 streben, während f(x) gegen 0 strebt. Einsetzen von x=1 und x=5 ergibt auch tatsächlich in beiden Fällen den Wert 0. Wir haben unsere Lösungen gefunden.
-Leider funktioniert das Verfahren nicht immer. Prüfe doch einmal, was für die Gleichung f(x) = x³ - 2x + 2 und den Startwert x=0 passiert. Was kannst du feststellen?
-Man kann das Verfahren natürlich auch mit beliebigen anderen Gleichungen durchführen.
-===== Taschenrechner =====
-{{:schule:casiofx991-oben.jpg|(cc) Stefan-Xp}}
-Die Nullstellen lassen sich auch mit dem [[Taschenrechner]] finden. Dazu gibst du die Gleichung in den Rechner ein und drückst SHIFT SOLVE. Nun fragt der Rechner nach einem Startwert - wir versuchen z.B. den Wert 10 und erhalten die Ausgabe
-  x² - 6x + 5 = 0
-  X = 5
-  L-R = 0
-Die letzte Zeile sieht seltsam aus. Sie gibt an, wie weit wir von der Nullstelle entfernt sind. L steht hier für die linke Seite und R für die rechte Seite der Gleichung. Ein Wert von 0 besagt, dass wir die Nullstelle exakt ermittelt haben.
-===== Python-Quelltext =====
-Weil das Newton-Verfahren so einfach ist, habe ich ein kleines Python-Programm geschrieben, das für quadratische Gleichungen die Lösung ermittelt. Versuche doch einmal, das Programm für kubische Gleichungen oder Gleichungen vierten Grades zu erweitern.
-<code python>
-MAX_ITERATIONEN = 100
-GENAUIGKEIT = 0.1
-def newton(a, b, c, startwert):
-    """  Bestimmt eine Lösung der Gleichung    ax² + bx + c = 0
-         für einen gegebenen Startwert.    """
-    xn = startwert * 1.0
-    fx = 1.0
-    numIterationen = 0
-    while abs(fx) > GENAUIGKEIT and numIterationen < MAX_ITERATIONEN:
-        fx = f(a, b, c, xn)
-        fx_ = f_(a,b,c, xn)
-        xn = xn - fx / fx_
-        numIterationen += 1
-    if numIterationen >= MAX_ITERATIONEN:
-        return float('NaN')
-    else:
-        return xn
-def f(a,b,c, x):
-    """    Berechne f(x) = ax² + bx + c    """
-    return a*x*x + b*x + c
-def f_(a,b,c, x):
-    """Berechne f'(x) = 2ax + b"""
-    return 2*a*x + b
-</code>
-Das Programm kann nun mit newton(a,b,c, startwert) aufgerufen werden, wobei a,b,c und d für die Koeffizienten in f(x) = ax² + bx + c stehen.
-===== Haskell-Quelltext =====
-Auch in der Programmiersprache Haskell lässt sich der Algorithmus leicht aufschreiben.
-<code haskell>
-newton :: (Fractional a, Ord a) => (a->a) -> (a->a) -> a -> a
-newton f f' x
-	| (abs $ f x) < 0.001 = x
-	| otherwise     = newton f f' xNeu
-	where
-		xNeu = x - (f x)/(f' x)
-</code>